Esto no es un problema.
Debido a la Same Origin Policy , los scripts del cliente (por ejemplo, JavaScript) solo deben poder leer y escribir Cookies pertenecientes al dominio actual. Por lo tanto, para la secuencia de comandos del cliente que interactúa con la cookie, solo hay una cookie por nombre, que ni siquiera debería conocer las cookies de otros dominios. Por lo tanto, no es necesario especificar de qué dominio está leyendo las cookies, siempre es el actual.
Requerir que se especifique sería como la llave de su auto, preguntándole qué carro desea desbloquear cada vez que presione el botón de desbloqueo. Obviamente, es su carro, el único carro que la llave puede desbloquear.
De manera similar, cuando el navegador envía una solicitud a http://example.com , solo incluye cookies para example.com , y no cookies pertenecientes a otros dominios, incluso si tienen el mismo nombre que example.com cookies. Un navegador que haga cualquier otra cosa sería un mal funcionamiento importante y un problema de seguridad crítico, pero que yo sepa, ningún proveedor de navegadores importante lo ha estropeado tanto.
No sé de qué tipo de "lectores posteriores" está hablando. Solo el navegador debe leer las cookies, y es responsabilidad del navegador hacer cumplir el SOP.
(Los subdominios hacen que esto sea un poco más complicado, pero creo que eso no viene al caso de tu pregunta).