Puede depender de cómo se instale su certificado.
Si su cliente no reconoce su certificado, entonces está su problema. Lea cómo funcionan los certificados para comprender qué está pasando aquí.
Si su certificado se instala como una CA raíz de confianza global, entonces el navegador asumirá que una CA pública se está comportando mal otra vez y no permitirá que la conexión continúe. No instale certificados de intercepción de esa manera. Chrome utiliza la fijación de claves en dominios seleccionados (incluidos Google y Facebook) para evitar que se acepten certificados no autorizados.
Si su certificado se instala como una autoridad de confianza local, entonces Chrome (y probablemente Firefox, no estoy seguro aquí) permitirá que la conexión continúe, aunque existe una clave anclada para el dominio. El razonamiento es que el propietario de la máquina debe tener la última palabra y, por lo tanto, Chrome respetará su decisión sin dudarlo.