Si está detrás de un enrutador NAT donde todos los dispositivos conectados obtienen la misma dirección IP saliente y si la autorización para este sitio específico se realiza únicamente mediante una dirección IP, entonces es suficiente que un solo dispositivo interno detrás del enrutador se autorice contra el servidor externo porque todos los dispositivos internos comparten la misma dirección IP visible externamente.
Esto significa que no necesita ejecutar algo en el enrutador para automatizar la autorización, sino que puede ejecutar esto en cualquiera de los dispositivos internos. La forma en que se puede automatizar esta autorización depende exactamente de cómo se realiza la autorización, y esa información falta en su pregunta. Pero si solo está visitando un sitio e ingresando el nombre de usuario y la contraseña, hay muchos clientes de línea de comandos o lenguajes de scripting que lo ayudarán. Pero los detalles exactos estarían fuera del alcance de este sitio, ya que son solo la automatización del sitio web y no están realmente relacionados con la seguridad.