Suponiendo que la vulnerabilidad CSRF existente se basa en la presencia de una cookie de inicio de sesión, la respuesta simple es no (en el caso general).
Los distintos navegadores (por ejemplo, IE / FF / GC / Safari) administran sus propias cookies, y el inicio de sesión en una no tendrá ningún efecto en las cookies de otro navegador.
Sin embargo, hay otros defectos de CSRF que no están basados en cookies, que pueden ser relevantes para otros navegadores.
Por ejemplo, la CSRF basada en la autenticación de Windows integrada sería relevante para IE, incluso si hubiera iniciado sesión en, digamos, FF. O cualquier otra gestión de autenticación / sesión no basada en cookies, incluidas las sesiones basadas en flash, etc.